Oberseminar Algebraische Geometrie (WS 2010/11)

Prof. Dr. Ulrich Derenthal - Prof. Dr. Andreas Rosenschon

Winter 2010/2011, Tuesdays, 16:15, room B 041 (Mathematisches Institut, Theresienstr. 39, 80333 München)

Next semester: Summer 2011

Abstracts

Philipp Habegger (Universität Zürich): Einige Resultate jenseits der André-Oort Vermutung (26.10.10)

Mittels der klassischen j-Invariante lässt sich eine komplexe Zahl als Isomorphieklasse elliptischer Kurven interpretieren. Von arithmetischem Interesse sind die singulären Werte. Das sind diejenigen die von elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation stammen. Die Vermutung von André-Oort beschreibt die Verteilung von Punkten mit singulären Koordinaten auf algebraischen Untervarietäten des affinen n-Raums. In diesem Fall ist die Vermutung nach Arbeiten von André, Edixhoven und Pila bekannt.

Die allgemeinere Vermutung von Pink beschreibt in unserem Kontext Punkte auf Untervarietäten, dessen Koordinaten nicht zwangsweise singulär sind. Man verlangt nur, dass sie gewisse "unwahrscheinliche" Modulitheoretische Eigenschaften aufweisen; z.B. wenn drei Koordinaten von paarweise isogenen elliptischen Kurven stammen. Ich werde über Fortschritte berichten, falls die Untervarietät eine Kurve ist.

Anne Henke (University of Oxford): Algebraische Gruppen und ihre Darstellungstheorie (2.11.10)

Symmetrische Gruppen spielen in der Darstellungs- und Invariantentheorie algebraischer Gruppen eine wichtige Rolle, zum Beispiel durch die Schur-Weyl-Dualität, die einen engen Zusammenhang herstellt mit GL(n). Bei orthogonalen und symplektischen Gruppen ersetzt man die symmetrischen Gruppen durch eine von Brauer eingeführte Algebra, die bei anderer Parameterwahl auch in anderen Bereichen der Mathematik vorkommt.

Diese Braueralgebra und ihre Darstellungstheorie werden im Vortrag vorgestellt und eine potentielle neue Verbindung zur Darstellungstheorie von symplektischen und orthogonalen Gruppen diskutiert.

Stephan Elsenhans (Universität Bayreuth): K3-Flächen und ihre Picard-Gruppen (9.11.10)

Die Berechnung der Picard-Gruppe einer explizit gegebenen Varietät ist ein im allgemeinen ungelöstes Problem. In diesem Vortrag soll eine Berechnungsmöglichkeit für Rangschranken der Picard-Gruppe vorgestellt werden. Weiterhin wird es am Beispiel der K3-Flächen einem systematischen Test unterzogen.

Gregor Kemper (TU München): Tiefe von Invariantenringen und wilde Verzweigung (23.11.10)

Die Tiefe eines Invariantenrings liefert ein Maß für seine homologische Komplexität. In dem Vortrag konzentrieren wir uns auf Invarianten einer endlichen Gruppe mit linearer Operation auf einem Vektorraum. Wir stellen Beziehungen zwischen der Tiefe des Invariantenrings, Gruppenkohomologie und der Geometrie der Operation her. Diese führen zu oberen Schranken für die Tiefe.

David Holmes (University of Warwick): Intersection theory in Diophantine Geometry (7.12.10)

Intersection theory on arithmetic schemes has numerous uses in Diophantine geometry via height functions. We outline the construction of these intersection pairings and give a brief overview of some applications, before discussing recent work applying this to finding rational points on Jacobian varieties.

Markus Hanselmann (University of Oxford): Darstellung von rationalen Zahlen durch Formen (1.2.11)

In diesem Vortrag soll untersucht werden, unter welchen Voraussetzungen eine Form F vom Grad d mit ganzzahligen Koeffizienten die Null nicht-trivial darstellt. Insbesondere soll hierbei der Fall d=4 diskutiert und die Techniken, die zu einer asymptotischen Formel für die Darstellungsanzahl führen, skizziert werden. Anschließend wird in diesem Fall untersucht, welchen Bedingungen eine Form genügen muss, um alle rationalen Zahlen ungleich Null darzustellen.